Introdução teórica

Há limites cuja indeterminação não é possível resolver pelos métodos tradicionais. Os limites notáveis são um método auxiliar nestes casos:

  • \(\lim_{x \to 0} { e^x - 1 \over x } {\buildrel { 0 \over 0 } \over =} 1 \)
  • \(\lim_{x \to 0} { \ln (x + 1) \over x } {\buildrel { 0 \over 0 } \over =} 1 \)
  • \(\lim_{x \to 0} { sin(x) \over x } {\buildrel { \infty \over \infty } \over =} 1 \)
  • \(\lim_{x \to +\infty} { \ln x \over x } {\buildrel { \infty \over \infty } \over =} 0 \)
  • \(\lim_{x \to +\infty} { e^x \over x^p } {\buildrel { \infty \over \infty } \over =} +\infty\), \(p\in\mathbb{R}\)

Problemas resolvidos

Resolva os seguintes limites:

A. \(\lim_{x \to 0} { e^{2x} - 1 \over x }\)

Resolução

\(\lim_{x \to 0} { e^{2x} - 1 \over x } = \lim_{x \to 0} { 2 \cdot { e^{2x} - 1 \over 2x } } {\buildrel { y=2x } \over =} 2 \cdot \lim_{y \to 0} { e^y - 1 \over y } = 2 \cdot 1 = 2\)

B. \(\lim_{x \to 0} { \sin 2x \over \ln (x+1) }\)

Resolução

\(\lim_{x \to 0} { \sin 2x \over \ln (x+1) } = \lim_{x \to 0} { 2 \cdot { \sin 2x \over 2x } \cdot { x \over \ln (x+1) } } = 2 \cdot \lim_{x \to 0} { \sin 2x \over 2x } \times \lim_{x \to 0} { 1 \over { ln (x+1) \over x } } {\buildrel { y=2x } \over =} 2 \cdot \lim_{y \to 0} { \sin y \over y } \times \lim_{x \to 0} { 1 \over { ln (x+1) \over x } } = 2 \cdot 1 \cdot { 1 \over 1 } = 2\)

C. \(\lim_{x \to 2} { \ln(x-1) \over x^2-3x+2 }\)

Resolução

\(\lim_{x \to 2} { \ln(x-1) \over x^2-3x+2 } = \lim_{x \to 2} { \ln(x-1) \over (x-1) \cdot (x-2) } = \lim_{x \to 2} { \ln(x-1) \over (x-2) } \times \lim_{x \to 2} { 1 \over (x-1) } {\buildrel { y=x-2 } \over =} \lim_{y \to 0} { \ln(y+1) \over (y) } \times \lim_{x \to 2} { 1 \over (x-1) } = 1 \cdot { 1 \over 2-1 } = 1\)

D. \(\lim_{x \to -\infty} { 1 \over x \cdot e^x }\)

Resolução

\(\lim_{x \to -\infty} { 1 \over x \cdot e^x } {\buildrel { y=-x } \over =} \lim_{y \to +\infty} { 1 \over -y \cdot e^{-y} } = -\lim_{y \to +\infty} { e^y \over y } = -\infty\)

Problemas propostos

Determine o valor dos seguintes limites:

  1. \(\lim_{x \to 0} { e^{x+4} - e^4 \over x }\)
  2. \(\lim_{x \to 0} { e^{4x} - 1 \over \ln(2x+1) }\)
  3. \(\lim_{x \to 0^+} { x^2 \cdot e^{1 \over x} }\)
  4. \(\lim_{x \to +\infty} { \sin({3 \over x}) \over { 1 \over x } }\)

Soluções

  1. \(e^4\)
  2. \(2\)
  3. \(+\infty\)
  4. \(3\)

Notas