Introdução teórica

A série geométrica é uma soma infinita de termos de uma progressão geométrica \(a_n\): \[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{n=1}^\infty r^n, r \in \mathbb{R}\]

A série geométrica é convergente se \(|r| < 1\) sendo o seu valor, ou seja, a soma definida por: \[S_n = {a_1 \over 1-r}\]

Problemas resolvidos

Determine a natureza e a soma das seguintes séries geométricas:

A. \(\sum\limits_{n=1}^\infty 2^n\)

Resolução

A progressão geométrica tem razão \(r = 2 > 1\) logo a série geométrica é divergente e assim o seu valor, ou seja, a soma é \(\infty\).

B. \(\sum\limits_{n=1}^\infty 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3n-1}\)

Resolução

A razão da progressão geométrica é \[r = {a_{n+1} \over a_n} = { 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3 \cdot (n+1) - 1} \over 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3n - 1}} = \left({1 \over 2}\right)^{3n + 3 - 1 - 3n + 1}=\left({1 \over 2}\right)^3 = {1 \over 8}\] logo a série geométrica é convergente pois \(r = {1 \over 8} < 1\) e a soma é \[S_n = { 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3 \cdot 1 - 1} \over 1 - {1 \over 8}} = {{3 \over 4} \over {7 \over 8}} = {6 \over 7}\]

O problema também pode ser resolvido simplificando a série: \[\sum\limits_{n=1}^\infty 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3n-1} = \sum\limits_{n=1}^\infty 3 \cdot \left({1 \over 2}\right)^{3n} \times \left({1 \over 2}\right)^{-1} = \sum\limits_{n=1}^\infty 3 \cdot 2 \cdot \left({1 \over 8}\right)^{n} = 6 \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \left({1 \over 8}\right)^{n}\]

A série geométrica obtida é convergente, \(r = {1 \over 8} < 1\), e a sua soma é \[S_n = { \left({1 \over 8}\right)^{1} \over 1 - {1 \over 8}} = {{1 \over 8} \over {7 \over 8}} = {1 \over 7}\]

Como seria de esperar a soma da série original é igual a \(6 \times {1 \over 7} = {6 \over 7}\).

Problemas propostos

Determine a natureza e a soma das seguintes séries:

  1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty 8 \cdot 4^{2n}\)
  2. \(\sum\limits_{n \ge 2}^\infty 3 \cdot 2^{1-n}\)
  3. \(\sum\limits_{n > 1}^\infty {5 \over 2^{2+n}}\)
  4. \(\sum\limits_{n=1}^\infty {3^n + 2^{n+2} \over 6^{n-1}}\)

Soluções

  1. Divergente logo \(S_n = \infty\)
  2. Convergente e \(S_n = 3\)
  3. Convergente e \(S_n = {5 \over 8}\)
  4. Convergente e \(S_n = 18\)

Notas