Introdução teórica

Definição de progressão geométrica

Uma sucessão \(a_n\) é uma progressão geométrica se satisfizer a relação \({a_{n+1} \over a_n} = r, \forall n \in \mathbb{N}\), sendo \(r\) um número real e denominado razão da progressão. Assim o termo \(a_{n+1}\) é equivalente a \(a_n \times r\).

Monotonia de uma progressão geométrica

Uma progressão geométrica é monótona crescente se \(r > 1\) e monótona decrescente se \(r < 1\).

Termo geral de uma progressão geométrica

Sabendo o primeiro termo, \(a_1\), e a razão \(r\) o termo geral da progressão é:

\[a_n = a_1 \times r^{n-1}\]

Ou conhecido um termo \(a_k\) o termo geral é:

\[a_n = a_k \times r^{n-k}\]

Soma dos termos de uma progressão geométrica

A soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão geométrica é definida por:

\[S_n = a_1 \times {1 - r^n \over 1 - r}\]

Problemas resolvidos

A. A sucessão de termos \(4, 8, 24, 96, 480, 2880, ...\) é uma progressão geométrica?

Resolução

A sucessão não é uma progressão geométrica pois \({a_{n+1} \over a_n}\) não é igual para qualquer valor de \(n\). Por exemplo, \({a_2 \over a_1} = 2\) e \({a_3 \over a_2} = 3\).

B. A sucessão de termos \(2, 4, 8, 16, 32, 64, ...\) é uma progressão geométrica? Se sim, determine o seu termo geral, a soma dos dois primeiros termos e a soma dos termos compreendidos entre \(a_3\) e \(a_5\) inclusive.

Resolução

A sucessão é uma progressão geométrica pois verifica-se que \({a_{n+1} \over a_n} = 2, \forall n \in \mathbb{N}\). Sendo \(a_1 = 2\) e \(r=2\) o termo geral é:

\[a_n = 2 \times 2^{n-1} \Leftrightarrow a_n = 2^{1+n-1} \Leftrightarrow a_n = 2^n\]

A soma dos dois primeiros termos da sucessão é:

\[S_2 = 2 \times {1 - 2^2 \over 1 - 2} = 2 \times {-3 \over -1} = 6\]

A soma dos termos compreendidos entre \(a_i\) a \(a_j\) inclusive pode ser calculado usando:

\[S_{i-j} = S_j - S_{i-1}\]

Assim, a soma dos termos compreendidos entre \(a_3\) a \(a_5\) inclusive é:

\[S_{3-5} = S_5 - S_{3-1} = S_5 - S_{2} = 2 \times {1 - 2^5 \over 1 - 2} - 6 = 2 \times {-31 \over -1} - 6 = 62 - 6 = 56\]

Problemas propostos

  1. A sucessão de termos \(3, 9, 27, 81, 243, ...\) é uma progressão geométrica? Se sim, indique o seu termo geral.
  2. Determine o termo geral e a soma dos primeiros 3 termos da progressão geométrica \(a_n\) com \(a_1 = 5\) e \(r=2\).
  3. Determine \(a_1\) de uma progressão geométrica com \(a_2 = 2\) e \(a_4 = 8\).
  4. Calcule soma dos termos compreendidos entre \(a_2\) a \(a_4\) de uma progressão geométrica com \(a_4 = 9\) e \(r=3\).

Soluções

  1. Sim e \(a_n = 3^n\)
  2. \(a_n = 5 \cdot 2^{n-1}\) e \(S_3 = 35\)
  3. \(a_1 = 1\)
  4. \(S_{2-4} = 13\)

Notas