Introdução teórica

Definição de progressão aritmética

Uma sucessão \(a_n\) é uma progressão aritmética se satisfizer a relação \(a_{n+1} - a_n = r, \forall n \in \mathbb{N}\), sendo \(r\) um número real e denominado razão da progressão. Assim o termo \(a_{n+1}\) é equivalente a \(a_n + r\).

Monotonia de uma progressão aritmética

Uma progressão aritmética é monótona crescente se \(r > 0\) e monótona decrescente se \(r < 0\).

Termo geral de uma progressão aritmética

Sabendo o primeiro termo, \(a_1\), e a razão \(r\) o termo geral da progressão é:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \times r\]

Ou conhecido um termo \(a_k\) o termo geral é:

\[a_n = a_k + (n - k) \times r\]

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão aritmética é definida por:

\[S_n = {a_1 + a_n \over 2} \times n\]

Problemas resolvidos

A. A sucessão de termos \(2, 4, 8, 14, 22, 32, ...\) é uma progressão aritmética?

Resolução

A sucessão não é uma progressão aritmética pois \(a_{n+1} - a_n\) não é igual para qualquer valor de \(n\). Por exemplo, \(a_2 - a_1 = 2\) e \(a_3 - a_2 = 4\).

B. A sucessão de termos \(8, 12, 16, 20, 24, 28, ...\) é uma progressão aritmética? Se sim, determine o seu termo geral, a soma dos três primeiros termos e a soma dos termos compreendidos entre \(a_4\) e \(a_6\) inclusive.

Resolução

A sucessão é uma progressão aritmética pois verifica-se que \(a_{n+1} - a_n = 4, \forall n \in \mathbb{N}\). Sendo \(a_1 = 8\) e \(r=4\) o termo geral é:

\[a_n = 8 + (n - 1) \times 4 \Leftrightarrow a_n = 8 + 4n - 4 \Leftrightarrow a_n = 4 + 4n\]

A soma dos trés primeiros termos da sucessão é:

\[S_3 = {a_1 + a_3 \over 2} \times 3 = {8 + 16 \over 2} \times 3 = 36\]

A soma dos termos compreendidos entre \(a_i\) a \(a_j\) inclusive pode ser calculado usando:

\[S_{i-j} = S_j - S_{i-1}\]

Assim, a soma dos termos compreendidos entre \(a_4\) a \(a_6\) inclusive é:

\[S_{4-6} = S_6 - S_{4-1} = S_6 - S_{3} = {a_1 + a_6 \over 2} \times 6 - 36 = {8 + 28 \over 2} \times 6 - 36 = 108 - 36 = 72\]

Problemas propostos

  1. A sucessão de termos \(1, 3, 5, 7, 9, ...\) é uma progressão aritmética? Se sim, indique o seu termo geral.
  2. Determine o termo geral e a soma dos primeiros 4 termos da progressão aritmética \(a_n\) com \(a_1 = 5\) e \(r=3\).
  3. Determine \(a_4\) de uma progressão aritmética com \(a_6 = 16\) e \(a_{10} = 24\).
  4. Calcule soma dos termos compreendidos entre \(a_2\) a \(a_5\) de uma progressão aritmética com \(a_3 = 14\) e \(r=4\).

Soluções

  1. Sim e \(a_n = 2n-1\)
  2. \(a_n = 3n+2\) e \(S_4 = 38\)
  3. \(a_4 = 12\)
  4. \(S_{2-5} = 64\)

Notas