Introdução teórica

A primitivação por partes é uma regra aplicável ao produto de duas funções. Partindo da regra da derivação do produto \[(u \cdot v)' = u \cdot v' + u' \cdot v\] e primitivando ambos os lados da equação, \[\int (u \cdot v)' = \int u \cdot v' + \int u' \cdot v \Leftrightarrow u \cdot v = \int u \cdot v' + \int u' \cdot v \] obtém-se a regra de primitivação por partes: \[\int u \cdot v' = u \cdot v - \int u' \cdot v \]

Problemas resolvidos

Resolva as seguintes primitivas pela regra da primitivação por partes:

A. \(\int x \cdot e^x\)

Resolução

Assumindo \(u = x^2 \Rightarrow u' = 2 \cdot x\) e \(v' = \sin x \Rightarrow v = \int \sin x = -\cos x\) tem-se:

\[\int x \cdot e^x = x \cdot e^x - \int e^x = x \cdot e^x - e^x + C = e^x \cdot (x - 1) + C\]

B. \(\int ln x\)

Resolução

A primitiva \(\int \ln x\) pode ser solucionada usando \(\int 1 \cdot \ln x\) e com \(u = \ln x \Rightarrow u' = {{1} \over x }\) e \(v' = \int 1 = x\) tem-se:

\[\int 1 \cdot \ln x = x \cdot \ln x - \int x \cdot {{1} \over x} = x \cdot \ln x - \int 1 = x \cdot \ln x - x + C = x \cdot (\ln x - 1) + C\]

Problemas propostos

Resolva as seguintes primitivas:

  1. \(\int -x \cdot \sin 4x\)
  2. \(\int x \cdot e^{-8x}\)
  3. \(\int {{\ln x} \over x^5}\)
  4. \(\int x \cdot \sqrt {x + 1}\)

Soluções

  1. \({1 \over 4} \cdot x \cdot \cos 4x - {1 \over 16} \cdot \sin 4x + C\)
  2. \(- {1 \over 64} \cdot e^{-8x} \cdot (8x + 1) + C\)
  3. \(- {{1 + 4 \ln x} \over {16x^4}} + C\)
  4. \({2 \over 15} (x + 1)^{3 \over 2} \cdot (3x - 2) + C\)

Notas