Introdução teórica

Definição de função contínua

Seja \(f\) um função real de variável real, definida em \(D_f \subset \mathbb{R}\). Diz-se que \(f\) é uma função contínua em \(D_f\), ou seja, \(f\) é contínua no seu domínio ou \(f\) é uma função contínua, se for contínua em todos os pontos de \(D_f\).

Continuidade num ponto

A função \(f\) é contínua num ponto \(a \in D_f\) se, neste ponto, existir limite e o seu valor for igual ao valor da função, ou seja: \[\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]

Nota: Uma função \(f\) tem limite em \(x=a\) se os limites laterais forem iguais: \(lim_{x \to a^+} f(x) = lim_{x \to a^-} f(x) = b \in \mathbb{R}\)

Continuidade lateral

Uma função \(f\) é contínua à esquerda de \(a\) se e só se \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\) e contínua à direita de \(a\) se e só se \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\). Uma função é contínua em \(x=a\) se for simultaneamente contínua à esquerda e à direita de \(a\).

Continuidade num intervalo

Uma função \(f\) é contínua num intervalo \(]a, b[\) se for contínua em todos os pontos deste intervalo. E é contínua em \([a, b]\) se for contínua em \(]a, b[\), à direita de a e à esquerda de b.

Problemas resolvidos

Determine o intervalo de continuidade das seguintes funções:

A. \(f(x) = x^2 + 4x - 8\)

Resolução

A função é definida por um polinómio de segundo grau logo é contínua em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em \(\mathbb{R}\).

B. \(f(x) = \begin{cases} x^2+4, x < 2 \\ \ln (x+2), x \ge 2 \\ \end{cases}\)

Resolução

Em \(]-\infty, 2[\) a função é contínua pois é definida pela função polinomial \(x^2 + 4\), contínua em \(\mathbb{R}\).

Em \(]2, +\infty[\) a função é contínua pois é definida pela função logarítmica \(\ln(x+2)\), contínua em \(]-2, +\infty[\).

Resta verificar a continuidade da função no ponto \(x=2\). Calculemos os limites laterais em \(x=2\):

\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \ln(x+2) = \ln(2+2) = \ln(4)\] \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2+4 = 2^2+4 = 8\]

Os limites laterais são diferentes logo não existe limite de f em \(x=2\), assim a função não é contínua em \(x=2\).

Nota: O limite à direita de 2 é igual ao valor da função, \(f(2)=\ln(2+2)=\ln(4)\) logo \(f\) é contínua à direita de 2.

Concluindo, a função \(f\) é contínua em \(\mathbb{R} \setminus\{2\}\).

Problemas propostos

Determine o intervalo de continuidade das seguintes funções:

  1. \(\ln(x+1) + x^2 -2x + 4\)
  2. \(\sin({\pi \over 4} x)\)
  3. \(|x^2-4|\)
  4. \(f(x) = \begin{cases} e^x + 4, x < 0 \\ x^2 + 2, x \ge 0 \\ \end{cases}\)

Soluções

  1. \(\mathbb{R}\)
  2. \(\mathbb{R}\)
  3. \(\mathbb{R}\)
  4. \(\mathbb{R} \setminus\{0\}\)

Notas